Задача 109100

Темы:    [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Точка M находится на расстояниях 5 и 4 от двух параллельных прямых m и n и на расстоянии 3 от плоскости, проходящей через эти прямые. Найдите расстояние между прямыми m и n .

Решение

Пусть M1 – ортогональная проекция точки M на плоскость α , проходящую через параллельные прямые m и n , A и B – основания перпендикуляров, опущенных из точки M на прямые m и n соответственно. Так как M1A и M1B – ортогональные проекции наклонных MA и MB на плоскость α и MA m и MB n , то по теореме о трёх перпендикулярах M1A m и M1B n . Прямые m и n параллельны, поэтому точки A , M1 и B лежат на одной прямой. Значит, расстояние между прямыми m и n равно длине отрезка AB . Из прямоугольных треугольников MAM1 и MBM1 находим, что

AM1 = = = 4,

BM1 = = = .
Пусть точка M1 лежит между точками A и B (рис.1). Тогда
AB = AM1 + M1B = 4 + .
Если же точка M1 лежит вне отрезка AB (рис.2), то
AB = |AM1 - M1B| = |4 - | = 4 - .

Ответ

4+ или 4- .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8175