Задача 109102

Темы:    [ Куб ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Докажите, что в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ прямые $AC_1$ и $BD$ перпендикулярны.

Решение

Прямая $C_1C$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $CB$ и $CD$ плоскости $ABCD$, поэтому $C_1C$ – перпендикуляр к плоскости $ABCD$. Тогда прямая $AC$ – ортогональная проекция наклонной $AC_1$ к этой плоскости. Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому $AC \perp BD$. Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах $AC_1 \perp BD$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8177