ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109103
Темы:    [ Теорема о трех перпендикулярах ]
[ Ортоцентрический тетраэдр ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если ортогональная проекция одной из вершин треугольной пирамиды на плоскость противоположной грани совпадает с точкой пересечения высот этой грани, то это же будет верно для любой другой вершины пирамиды.

Решение

Пусть ортогональная проекция P вершины D треугольной пирамиды ABCD есть точка пересечения высот треугольника ABC . Прямая CP – ортогональная проекция наклонной CD на плоскость ABC . Так как CP AB , то по теореме о трёх перпендикулярах AB CD . Пусть Q – ортогональная проекция вершины C на плоскость BAD . Тогда прямая BQ – ортогональная проекция наклонной CB на плоскость BAD . Так как AB CD , то по теореме о трёх перпендикулярах BQ AD . Значит, высота BM треугольника BAD проходит через точку Q . Аналогично, AQ BD , т.е. высота AN треугольника BAD проходит через точку Q . Следовательно, Q – точка пересечения высот треугольника BAD . Остальное аналогично.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8178

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .