Условие
Докажите, что если ортогональная проекция одной из вершин
треугольной пирамиды на плоскость противоположной грани совпадает с
точкой пересечения высот этой грани, то это же будет верно
для любой другой вершины пирамиды.
Решение
Пусть ортогональная проекция
P вершины
D треугольной пирамиды
ABCD есть точка пересечения высот треугольника
ABC . Прямая
CP –
ортогональная проекция наклонной
CD на плоскость
ABC . Так как
CP 
AB , то по теореме о трёх перпендикулярах
AB CD .
Пусть
Q – ортогональная проекция вершины
C на плоскость
BAD .
Тогда прямая
BQ – ортогональная проекция наклонной
CB на плоскость
BAD . Так как
AB CD , то по теореме о трёх перпендикулярах
BQ AD .
Значит, высота
BM треугольника
BAD проходит через точку
Q .
Аналогично,
AQ BD , т.е. высота
AN треугольника
BAD проходит через точку
Q . Следовательно,
Q – точка пересечения
высот треугольника
BAD . Остальное аналогично.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8178 |
