|
|
 |
Условие
Докажите, что если ортогональная проекция одной из вершин
треугольной пирамиды на плоскость противоположной грани совпадает с
точкой пересечения высот этой грани, то это же будет верно
для любой другой вершины пирамиды.
Решение
Пусть ортогональная проекция P вершины D треугольной пирамиды
ABCD есть точка пересечения высот треугольника ABC . Прямая CP –
ортогональная проекция наклонной CD на плоскость ABC . Так как CP
AB , то по теореме о трёх перпендикулярах AB
CD .
Пусть Q – ортогональная проекция вершины C на плоскость BAD .
Тогда прямая BQ – ортогональная проекция наклонной CB на плоскость
BAD . Так как AB
CD , то по теореме о трёх перпендикулярах BQ
AD .
Значит, высота BM треугольника BAD проходит через точку Q .
Аналогично, AQ
BD , т.е. высота AN треугольника
BAD проходит через точку Q . Следовательно, Q – точка пересечения
высот треугольника BAD . Остальное аналогично.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 8178 |
