Условие
Докажите, что если прямая p образует равные углы с тремя
попарно пересекающимся прямыми плоскости, то прямая p
перпендикулярна этой плоскости.
Решение
Пусть прямая p пересекает плоскость α , содержащую данные
прямые k , m и n , в точке O . Проведём через точку O прямые
k1 , m1 и n1 , соответственно параллельные прямым k ,
m и n . Тогда прямая p образует равные углы с прямыми k1 ,
m1 и n1 . Поэтому произвольная точка A прямой p , отличная
от O , равноудалена от этих прямых. Значит, ортогональная проекция A1
точки A на плоскость α также равноудалена от прямых k1 ,
m1 и n1 . Поэтому точка A1 лежит на биссектрисе одного из
углов, образованных прямыми k1 и m1 , на биссектрисе одного из
углов, образованных прямыми k1 и n1 , а также на биссектрисе одного
из углов, образованных прямыми m1 и n1 . Поскольку прямые k1 ,
m1 и n1 различны, то указанные биссектрисы имеют единственную общую
точку O . Поэтому точка A1 совпадает с точкой O .
Тогда прямая p совпадает с прямой AA1 . Следовательно, прямая p
перпендикулярна плоскости α .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8180 |
