Условие
Докажите, что если прямая
p образует равные углы с тремя
попарно пересекающимся прямыми плоскости, то прямая
p
перпендикулярна этой плоскости.
Решение
Пусть прямая
p пересекает плоскость
α , содержащую данные
прямые
k ,
m и
n , в точке
O . Проведём через точку
O прямые
k1
,
m1
и
n1
, соответственно параллельные прямым
k ,
m и
n . Тогда прямая
p образует равные углы с прямыми
k1
,
m1
и
n1
. Поэтому произвольная точка
A прямой
p , отличная
от
O , равноудалена от этих прямых. Значит, ортогональная проекция
A1
точки
A на плоскость
α также равноудалена от прямых
k1
,
m1
и
n1
. Поэтому точка
A1
лежит на биссектрисе одного из
углов, образованных прямыми
k1
и
m1
, на биссектрисе одного из
углов, образованных прямыми
k1
и
n1
, а также на биссектрисе одного
из углов, образованных прямыми
m1
и
n1
. Поскольку прямые
k1
,
m1
и
n1
различны, то указанные биссектрисы имеют единственную общую
точку
O . Поэтому точка
A1
совпадает с точкой
O .
Тогда прямая
p совпадает с прямой
AA1
. Следовательно, прямая
p
перпендикулярна плоскости
α .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8180 |
