Версия для печати
Убрать все задачи

---

В турнире по волейболу каждая команда встречалась с каждой по одному разу. Каждая встреча состояла из нескольких партий – до трёх побед одной из команд. Если встреча заканчивалась со счётом  3 : 0  или  3 : 1,  то выигравшая команда получала 3 очка, а проигравшая – 0. Если же счёт партий был
3 : 2,  то победитель получал 2 очка, а побеждённый – 1 очко. По итогам турнира оказалось, что команда "Хитрецы" набрала больше всех очков, а команда "Простаки" – меньше всех. Но "Хитрецы" выиграли меньше встреч, чем проиграли, а у "Простаков" наоборот, победных встреч оказалось больше, чем проигранных. При каком наименьшем количестве команд такое возможно?

   Решение

Тема:    [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Из условия tgϕ=1/ cosα cosβ+ tgα tgβ вывести, что cos 2ϕ 0 .

Решение

tgϕ=(1+ sinα sinβ)/ cosα cosβ . Положим, что sinϕ=(1+ sinα sinβ)c, cosϕ=c cosα cosβ . Тогда

cos 2ϕ= cos²ϕ- sin²ϕ= cos²α cos²β· c²-(1+ sinα sinβ)²c²=

=c²( cosα cosβ+1+ sinα sinβ)( cosα cosβ-1- sinα sinβ)=

=c²( cos(α-β)+1)( cos(α+β)-1).
Первые два сомножителя неотрицательны, а третий – неположителен. Поэтому cos 2ϕ неположителен.

Источники и прецеденты использования