Задача 109158

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Делится ли многочлен  1 + x⁴ + x⁸ + ... + x^4k  на многочлен  1 + x² + x⁴ + ... + x^2k?

Решение

  Если  k + 1  нечётно, числитель делится на знаменатель, а если
k + 1 = 2n,  при делении получается остаток 2, поскольку  x²(k+1) – 1 = x⁴ⁿ – 1  делится на  x⁴ – 1,  а значит, и на  x² + 1.

Ответ

При чётном k делится, а при нечётном – нет.

Замечания

Ср. с задачей 60973.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1963
Номер	13
Название	13-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
неизвестно
Название	Задача 11.6