Задача 60973

Темы:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Тождественные преобразования ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

При каких n многочлен  1 + x² + x⁴ + ... + x^2n–2  делится на  1 + x + x² + ... + x^n–1?

Решение

   Таким образом, вопрос сводится к делимости многочлена  xⁿ + 1  на  x + 1.  При нечётном n, он, как известно, делится на  x + 1,  а при чётном – дает остаток 2, так как  xⁿ – 1  делится на  x + 1.

Ответ

При нечётных n.

Замечания

Ср. с задачей 109158.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	2
Название	Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу.
Тема	Теорема Безу. Разложение на множители
задача
Номер	06.050