Задача 109170

Темы:    [ Вычисление объемов ] [ ГМТ в пространстве (прочее) ] [ Объем круглых тел ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Условие

На плоскости дан квадрат со стороной a . Найти объём тела, состоящего из всех точек пространства, расстояние от которых до части плоскости, ограниченной квадратом, не больше a .

Решение

Рассмотрим сечение тела плоскостью, совпадающей с плоскостью квадрата (рис.). Здесь A₁B₁||AB||DC||D₁C₁, A₂D₂||AD||BC||B₂C₂ . Данное тело будет состоять из параллелепипеда с основанием, равным данному квадрату, высотой 2a , из четырех полуцилиндров с радиусом основания a и высотой a и четырех четвертей шара радиуса a . Следовательно объем тела равен 2a· a²+4(a· π a²/2)+4(1/4·4/3 π a³)=2/3 a³(5π+3) .

Ответ

2/3 a³(5π+3) .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1966
Название	16-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Номер	16
неизвестно
Название	Задача 10.3