ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109199
Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Неравенство Иенсена ]
[ Выпуклость и вогнутость (прочее) ]
[ Теоремы о среднем значении ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Положительные числа х1, ..., хk удовлетворяют неравенствам  
  а) Докажите, что  k > 50.
  б) Построить пример таких чисел для какого-нибудь k.
  в) Найти минимальное k, для которого пример возможен.


Решение

  а) По условию     Таким образом, хотя бы для одного числа (пусть для х1) выполнено неравенство     то есть х1 > 4.
  Отсюда  
  Поскольку минимум функции  2x² – x  равен  – ⅛,  то  k – 1 > 8·28 > 50.

  б) Возьмём  k = 2501,  х1 = 10,  х2 = х3 = ... = х2501 = 0,1.  Тогда     и все неравенства выполнены.

  в) Положим  p(х) = 2х² – х,  q(х) = х³ – 2х,     Заметим, что функция p отрицательна на интервале  (0, ½),  убывает на интервале  (0, ¼)  и возрастает на интервале  (¼, +∞);  q также убывает на  (0, ½);  f возрастает на интервалах  (–∞, ½)  и  (½, +∞)  и положительна на  (0, ½)  и  

  Пусть k минимально, а числа  x1x1 ≤ ... ≤ xk  удовлетворяют условию, то есть  p(x1) + ... + p(xk) < 0,  q(x1) + ... + q(xk) > 0.
  Тогда  xk–1 < ½.  Действительно, в противном случае можно уменьшить k, заменив xk–1 и xk на такое число  x0xk,  что  p(x0) = p(xk–1) + p(xk).  При этом сумма p(xi) не изменится, а сумма q(xi) не уменьшится:  q(x0) = f(x0)p(x0) = f(x0)p(xk–1) + f(x0)p(xk) ≥ f(xk–1)p(xk–1) + f(xk)p(xk) = q(xk–1) + q(xk).
  Теперь из решения а) видно, что  xk > 4.
  Далее, не меняя k, будем набор {xi} последовательно упрощать.

  3) Если какое-то число  xi ∈ (¼, ½),  заменим его на  ½ – xi.  При этом сумма p(xi) не изменится, а сумма q(xi) не уменьшится. Поэтому далее считаем, что x1, x2, ..., xk–1 ≤ ¼.

  Положим  n = k – 1.  На следующем шаге сделаем числа x1, x2, ..., xn равными, сохранив сумму p(xi) и увеличив сумму q(xi). Нам понадобится

  Лемма. Пусть  0 < a < b < c < d ≤ ¼  и  p(a) + p(d) = p(b) + p(c).  Тогда  q(a) + q(d) < q(b) + q(c).
  Доказательство. Поскольку  p(a) + p(d) = p(b) + p(c),  а p(x) убывает, то  p(c) – p(d) = p(a) – p(b) > 0.  Поэтому доказываемое неравенство
q(a) + q(d) < q(b) + q(c)  (или  q(a) – q(b) < q(c) – q(d))  можно заменить на     Подставив в дробь     явные формулы для p и q, разложив на множители и сократив на  x – y,  получим     Поскольку f возрастает на  (0, ½),  то  F(y, z)  возрастает при одновременном возрастании x и y  (0 < x < y < ¼);  в частности,  F(a, b) < F(c, d).

  Применим теперь метод Штурма. Пусть P – среднее арифметическое чисел p(x1), p(x2), ..., p(xn). Если среди этих чисел есть неравные, то найдутся такие i, j, что  p(xi) < P  и  p(xj) > P.  Сблизим xi и xj так, чтобы сумма  p(xi) + p(xj)  не изменилась, а хотя бы одно из слагаемых стало равным P (это возможно ввиду монотонности и непрерывности p(x) на интервале  (0, ¼]).  По лемме сумма  q(xi) + q(xj)  возрастёт. Будем повторять операцию, пока все p(xi) не станут равны P.

  Осталось выяснить, при каком минимальном n существуют такие  u ≤ ½,  v > 4,  что  2(nu² + v²) < nu + v,  2(nu + v) < (nu³ + v³).
  Перепишем эти неравенства в виде     Отсюда  f(v) > f(u).
  Оценим, какое минимальное значение может принимать выражение     при наших ограничениях. Это и будет оценкой снизу для n.
  Будем уменьшать v, пока не достигнем значения, при котором  f(v) = f(u).  Так как  f(u) > f(0) = 2 = f(4),  то и новое значение v больше 4. При этом число     только уменьшится.
  Теперь u и v – корни квадратного уравнения  x² – 2 = t(2x – 1)  (где  t = f(u)),  поэтому  u + v = 2t,  то есть  
  Теперь выражение     принимает вид    
  Числитель производной g'  равен  –14(3u² – 16u + 2),  поэтому g'  обращается в нуль в точке     причём это – точка минимума.
  Таким образом,  n > g(u0) = 514,16...,  то есть  n ≥ 515,  а  k ≥ 516.

  Построим пример для  n = 515.  Возьмём  u = ⅛  (это число близко к u0). Соответствующее значение     при этом    . Будем увеличивать значение v. При этом  f(v) будет расти и наступит момент, когда     станет больше 515, а     будет еще меньше 515. На этом значении v и остановимся (например, подходит  v = 5,169).


Ответ

в)  k = 516.

Замечания

  Для знатоков. 1. Для доказательства леммы можно использовать теорему Коши, согласно которой     где  z ∈ (x, y).

  2. Можно обойтись без леммы и метода Штурма, если воспользоваться выпуклостью функций p и  f  на  (0, ½).
  Заменим каждое из чисел  x1x1 ≤ ... ≤ xn  на такое число  u ∈ (0, ¼],  что  p(u) = P < 0.  При этом сумма p(xi) не изменится. Докажем, что сумма q(xi) не уменьшится.
  Положим     В силу неравенства Иенсена и неравенства между средними     следовательно,  t ≥ u.
  Значит,    

  3. Баллы: 3 + 3 + 3.

  4. Задача также предлагалась в Задачнике "Кванта" ("Квант", 2007, №2, М2040).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 28
Дата 2006/2007
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
задача
Номер 7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .