Задача 109232

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Двугранный угол при основании правильной n -угольной пирамиды равен β . Найдите двугранный угол между соседними боковыми гранями.

Решение

Пусть сторона основания A1A2 A_n правильной пирамиды PA1A2 A_n с вершиной P равна a , высота PO пирамиды равна h , площадь боковой грани равна S , а искомый угол между соседними боковыми гранями равен γ . Опустим перпендикуляр A1M из вершины A1 на прямую OA2 . Тогда A1M – перпендикуляр к плоскости A2OP . Так как A2OP – биссекторная плоскость двугранного угла между боковыми гранями A1PA2 и A2PA3 , то угол между плоскостями A1PA2 и A2OP равен . Если S' – площадь ортогональной проекции боковой грани A1PA2 на плоскость A2OP , то S' = S cos . С другой стороны, если L – середина A1A2 , то

PL = = , OP=PL sin β = ,

A1A2M = · = 90^o - ,

MA1A2 = 90^o - A1A2M = 90^o - (90^o - ) = ,

A2M = A1A2 sin MA1A2 = a sin .
Поэтому
S' = S_{Δ A}2MP = A2M· OP = a sin · = S sin sin β.
Поэтому
S cos = S sin sin β.
Следовательно,
cos = sin β sin .

Ответ

2 arccos ( sin β sin ) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7657