Задача 109233

Темы:    [ Прямая призма ] [ Теорема Пифагора в пространстве ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Основанием прямой призмы служит ромб с острым углом α . Найдите объём призмы, если её большая диагональ равна l и образует с плоскостью основания угол β .

Решение

Пусть ABCDA1B1C1D1 – данный прямоугольный параллелепипед, основание которого – ромб ABCD с острым углом α при вершине A . Тогда AC – большая диагональ ромба. Так как AC – ортогональная проекция диагонали A1C параллелепипеда на плоскость основания ABCD , то A1C – большая диагональ параллелепипеда. По условию задачи A1C = l , ACA1 = β . Из прямогольного треугольника ACA1 находим, что

AA1 = A1C sin ACA1 = l sin β,

AC = A1C cos ACA1 = l cos β.
Пусть O – центр ромба. Тогда
OB = OA tg OAB = AC tg BAD = l cos β tg ,

BD = 2OB = l cos β tg ,

S_ABCD = AC· BD = l cos β · l cos β tg .
Следовательно,
V_ABCDA1B1C1D1 = S_ABCD· AA1 =

= l2 cos2 β · tg · l sin β = l3 sin β cos2β tg2 .

Ответ

l3 sin β cos2β tg2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7931