ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109235
Темы:    [ Прямая призма ]
[ Объем призмы ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция с острым углом α . Боковая сторона трапеции и её меньшее основание равны. Найдите объём призмы, если диагональ призмы равна a и образует с плоскостью основания угол β .

Решение

Пусть ABCD – основание данной призмы ABCDA1B1C1D1 , причём AD и BC – основания трапеции ABCD ,

AB = BC = CD, BAD = CDA = α, ACA1 = β.

Поскольку AB = BC , треугольник ABC – равнобедренный, поэтому
CAD = ACB = BAC = .

Из прямоугольного треугольника ACA1 находим, что
AA1 = A1C sin ACA1 = a sin β, AC = A1C cos ACA1 = a cos β.

Пусть CK – высота трапеции ABCD . Тогда
DK = (AD - BC), AK = AD - DK = AD - (AD - BC) = (AD+BC),


CK = AC sin CAK = a cos β sin ,


AK = AC cos CAK = a cos β cos .

Поэтому
SABCD = (AD+BC)· CK = AK· CK = a cos β sin · a cos β cos = a2 cos2β sin α.

Следовательно,
VABCDA1B1C1D1 = SABCD· AA1 = a2 cos2β sin α · a sin β =


= a3 sin α sin β cos2 β.


Ответ

a3 sin α sin β cos2 β .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 7933

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .