Задача 109236

Темы:    [ Прямая призма ] [ Объем призмы ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём прямой призмы, основанием которой служит прямоугольный треугольник с острым углом α , если боковое ребро призмы равно l и образует с диагональю большей боковой грани угол β .

Решение

Пусть AB – гипотенуза прямоугольного треугольника ABC , лежащего в основании прямой призмы ABCA1B1C1 , причём ABC = α . Тогда AA1B1B – наибольшая боковая грань призмы ABCA1B1C1 . По условию задачи диагональ AB1 этой грани образует с ребром AA1 угол β . Т.е. A1AB1 = β . Тогда

AB = A1B1 = AA1 tg A1AB1 = l tg β ,

BC = AB cos ABC = l tg β cos α, AC = AB sin ABC = l tg β sin α,

S_{Δ ABC} = AC· BC = l tg β sin α · l tg β cos α = l2 sin 2α tg2β.
Следовательно,
V_ABCA1B1C1 = S_{Δ ABC}· AA1 = l2 sin 2α tg2β · l = l3 sin 2α tg2β.

Ответ

l3 sin 2α tg2β .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7934