Задача 109237

Темы:    [ Призма (прочее) ] [ Объем призмы ] [ Боковая поверхность призмы ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Каждое ребро наклонной треугольной призмы равно 2. Одно из боковых рёбер образует со смежными сторонами основания углы 60^o . Найдите объём и площадь полной поверхности призмы.

Решение

Пусть боковое ребро AA1 данной призмы ABCA1B1C1 образует со сторонами AB и AC основания ABC углы 60^o . Так как все рёбра призмы равны, то грани AA1B1B и AA1C1C – ромбы со стороной 2 и острым углом 60^o . Значит, A1B = A1A = A1C = 2 . Все рёбра треугольной пирамиды A1ABC равны, поэтому A1ABC – правильный тетраэдр с ребром 2. Его высота A1O равна 2 . В то же время, A1O – высота данной призмы ABCA1B1C1 . Следовательно,

V_ABCA1B1C1 = S_{Δ ABC}· A1O = · 2 = 2.
Поскольку A1B = A1C , то точка O равноудалена от концов отрезка BC . Значит, AO BC . Тогда по теореме о трёх перпендикулярах A1A BC , а т.к. B1B || A1A , то грань BB1C1C – прямоугольник, все стороны которого равны, т.е. квадрат. Пусть S – площадь полной поверхности призмы ABCA1B1C1 . Тогда
S = 2S_{Δ ABC} + 2S_AA1B1B + S_BB1C1C = 2 + 4 + 4 = 4 + 6.

Ответ

2 ; 4 + 6 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7935