Условие
Докажите, что через точку, не лежащую на плоскости, можно
провести единственную плоскость, параллельную данной.
Решение
Через произвольную точку данной плоскости
α проведём в
этой плоскости две пересекающиеся прямые
a и
b (рис.1). Через данную точку
M , лежащую вне плоскости
α , проведём прямые
a1
и
b1
,
соответственно параллельные прямым
a и
b . Через пересекающиеся
прямые
a1
и
b1
проведём плоскость
β . По признаку
параллельности плоскостей плоскости
α и
β параллельны.
Существование плоскости доказано.
Докажем теперь, что такая плоскость единственна. Предположим,
что через точку
M , не лежащую в плоскости
α , можно провести по
крайней мере две плоскости
β и
β1
, параллельные плоскости
α (рис.2). Пусть
c – прямая пересечения плоскостей
β и
β1
.
Возьмём на плоскости
α прямую
d , непараллельную прямой
c . Через
точку
M и прямую
d проведём плоскость
γ . Эта плоскость пересекает
плоскости
β и
β1
по прямым, параллельным прямой
d . Таким
образом, через точку
M плоскости
γ проходят две прямые, параллельные
прямой
d плоскости
γ , что невозможно.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8011 |
