Условие
Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных
плоскостей, пересекает и другую.
Решение
Пусть α и β – параллельные плоскости, а прямая a пересекает
плоскость α в точке A . Предположим, что прямая a не пересекает
плоскость β . Через произвольную точку B плоскости β и прямую a
проведём плоскость γ . Эта плоскость пересекает параллельные
плоскости α и β по прямым a1 и b соответственно.
Прямые a1 и b лежат в одной плоскости и не пересекаются (т.к.
в противном случае пересеклись бы плоскости α и β ), поэтому
a1 || b .
Прямые a и b также лежат в одной плоскости и не пересекаются
(т.к. в противном случае прямая a пересекла бы плоскость β ),
поэтому a || b .
Значит, прямые a и a1 совпадают. Но прямая a1 лежит в
плоскости α , поэтому и прямая a лежит в плоскости α , что
противоречит условию.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8017 |
