Задача 109253

Темы:    [ Равногранный тетраэдр ] [ Развертка помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В треугольной пирамиде DABC суммы трёх плоских углов при каждой из вершин D , A и B равны 180^o , DC = 15 , ACB = 60^o . Найдите радиус описанного шара, если радиус вписанного шара равен 3.

Решение

Рассмотрим развёртку C1BC3AC2DC1 тетраэдра ABCD на плоскость треугольника ABD (рис.1), причём точки C1 , C2 и C3 – вершины треугольников с основаниями BD , AD и AB соответственно. Поскольку суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A , B и D тетраэдра ABCD равны по 180^o , точка A лежит на отрезке C2C3 , точка B – на отрезке C1C3 , а точка D – на отрезке C1C2 , причём A , B и D – середины этих отрезков. Поэтому AB , BD и AD – средние линии треугольника C1C2C3 . Значит, противоположные рёбра тетраэдра ABCD попарно равны. Поэтому грани тетраэдра – равные треугольники (по трём сторонам), т.е. тетраэдр – равногранный. Докажем, что центр описанного шара такого тетраэдра совпадает с центром вписанного шара. Пусть O – центр шара радиуса R , описанного около данного тетраэдра (рис.2). Перпендикуляры, опущенные из точки O на грани тетраэдра, проходят через центры описанных окружностей этих граней, а т.к. тетраэдр – равногранный, то все его грани – равные остроугольные треугольники. Поэтому радиусы их описанных окружностей равны, а центры этих окружностей расположены внутри граней. Обозначим их через R1 . Тогда расстояния от точки O до плоскостей граней равны = r . Значит, точка O удалена от всех граней тетраэдра на одно и то же расстояние r . Следовательно, O – центр вписанной сферы, а r – радиус этой сферы. Поскольку AB =СD = 15 , а ACB = 60^o , то

R1 = = = 5,
а т.к. r = 3 , то
R = = = = 2.

Ответ

2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8042