ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109257
Темы:    [ Объем помогает решить задачу ]
[ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольной пирамиде ABCD грани ABC и ABD имеют площади p и q и образуют между собой угол α . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AB и центр вписанного в пирамиду шара.

Решение

Докажем сначала следующее утверждение: если V – объём тетраэдра ABCD , p и q – площади граней ABC и ABD , α – угол между этими гранями, то V = · . Если DH – высота тетраэдра, опущенная на основание ABC , а HM – перпендикуляр, опущенный из точки H на AB , то по теореме о трёх перпендикулярах DH AB , значит, DMH – линейный угол двугранного угла тетраэдра при ребре AB . Поэтому DMH = α . Тогда

V=VABCD = SΔ ABC· DH = p· DM sin α = · sin α= · .

Что и требовалось доказать. Обозначим через S площадь сечения ABK . Тогда из доказанного утверждения следует, что
VABCD = · .

С другой стороны, поскольку секущая плоскость проходит через центр O шара, вписанного в двугранный угол между гранями ABC и ABD , центр шара лежит в биссекторной плоскости этого угла, поэтому
VABCD = VCABK + VDABK = · + · = ·

Из уравнения
· = ·

находим, что
S = = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8046

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .