Задача 109259

Темы:    [ Площадь сечения ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Точки K и M – середины ребер AB и AC треугольной пирамиды ABCD с площадью основания p . Найдите площадь грани BCD , если сечение DKM имеет площадь q , а основание высоты пирамиды попадает в точку пересечения медиан основания ABC .

Решение

Пусть O – точка пересечения медиан треугольника ABC (рис.1, рис.2); DP , DN и AQ – высоты треугольников DKM , DBC и ABC соответственно. Тогда

DP = = = , AQ = = .
По теореме о трёх перпендикулярах OP KM и ON BC , поэтому
OP = AQ = · = , ON = AQ = .

DO2 = DP2 - OP2 = - = ,

DN2 = DO2 + ON2 = + = .
Следовательно,
S_{Δ BCD} = BC· DN = BC· = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8048