Задача 109267

Темы:    [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ] [ Правильный тетраэдр ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Основание прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 – равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами AC = BC = a . Вершины M и N правильного тетраэдра MNPQ лежат на прямой CA1 , а вершины P и Q – на прямой AB1 . Найдите: а) объём призмы; б) расстояние между серединами отрезков MN и PQ .

Решение

Поскольку противоположные рёбра MN и PQ правильного тетраэдра перпендикулярны, перпендикулярны и содержащие их прямые CA1 и AB1 (рис.1). Поскольку B1C1 A1C1 и B1C1 CC1 , то B1C1 – перпендикуляр к плоскости AA1C1C , а т.к. AC1 – ортогональная проекция наклонной AB1 на плоскость AA1C1C , то по теореме о трёх перпендикулярах AC1 CA1 . Значит, прямоугольник AA1C1C – квадрат. Поэтому боковые рёбра данной призмы равны a . Следовательно,

V_ABCA1B1C1 = S_{Δ ABC}· AA1 = a2· a = a3.
Прямая A1C перпендикулярна плоскости AB1C1 , т.к. она перпендикулярна пересекающимся прямым B1C1 и AC1 этой плоскости. Пусть F – центр квадрата AA1C1C . Тогда перпендикуляр FH , опущенный из точки F на прямую AB1 , есть общий перпендикуляр скрещивающихся прямых CA1 и AB1 . Рассмотрим прямоугольный треугольник AB1C1 (рис.2). Обозначим B1AC1 = α . Тогда
tg α = = , cos α = , sin α = ,

FH = AF sin FAH = · sin α = · = .
Поскольку отрезок, соединяющий середины противоположных рёбер правильного тетраэдра, является общим перпендикуляром прямых, содержащих эти рёбра, то длина FH и есть искомое расстояние.

Ответ

Ю) ; А) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8056