|
|
 |
Условие
Три сферы радиуса 1 попарно касаются друг друга и некоторой
плоскости. Основание конуса расположено в этой плоскости. Все три
сферы касаются боковой поверхности конуса внешним образом. Найдите
радиус основания конуса, если высота конуса равна 2.
Решение
Пусть O'1 , O'2 , O'3 – ортогональные проекции центров
O1 , O2 , O3 данных сфер на плоскость основания конуса,
A – вершина конуса, O – центр основания конуса, r – его
радиус основания конуса (рис.1). Точка O – центр окружности, описанной около
равностороннего треугольника O'1O'2O'3 со стороной 2,
поэтому OO'1 = .
Рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через точку O1 (рис.3).
Получим равнобедренный треугольник ABC с основанием BC = 2r ,
высотой AO = 2 и окружность, касающуюся боковой стороны AC в
некоторой точке M , а продолжения основания BC за точку CB – в точке
O'1 . Пусть прямая, проходящая через точку A , касается этой
окружности в точке P , не лежащей на AC . Поскольку AO = PO'1 = 2 ,
прямая AP параллельна BC . Обозначим
PAO1 = α . Тогда
Следовательно,
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 8061 |
