|
|
 |
Условие
Три шара одинакового радиуса попарно касаются друг друга и
некоторой плоскости. Основание конуса расположено в этой плоскости.
Все три сферы касаются боковой поверхности конуса внешним образом.
Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если высота конуса
равна диаметру шара.
Решение
Пусть O'1 , O'2, O'3 – ортогональные проекции центров O1 ,
O2 , O3 данных сфер на плоскость основания конуса (рис.2), R – радиус сфер,
A – вершина конуса, O – центр основания конуса, r – его радиус,
ϕ – угол в осевом сечении конуса. Точка O – центр окружности,
описанной около равностороннего треугольника O'1O'2O'3 со стороной
2R , поэтому OO'1 = .
Рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через точку O1 (рис.3).
Получим равнобедренный треугольник ABC с основанием BC = 2r ,
высотой AO = 2R и окружность, касающуюся боковой стороны AC в
некоторой точке M , а продолжения основания BC за точку C – в точке
O'1 . Пусть прямая, проходящая через точку A , касается этой
окружности в точке P , не лежащей на AC . Поскольку AO = PO' = 2R ,
прямая AP параллельна BC . Обозначим
PAO1 = α . Тогда
Следовательно,
Ответ
2 arctg =
4 arctg
=
π - 4 arctg
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 8062 |
