Задача 109274

Темы:    [ Касающиеся сферы ] [ Правильная пирамида ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a . Центры двух шаров радиуса r , содержащихся внутри пирамиды, расположены на её высоте. Первый шар касается плоскости основания пирамиды, второй шар касается первого и плоскостей всех боковых граней пирамиды. Найдите высоту пирамиды.

Решение

Пусть PABCD – правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P ; M и N – середины сторон соответственно AD и BC основания ABCD . Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P , M и N , – равнобедренный треугольник PMN , основание MN которого равно стороне квадрата ABCD т.е. a . Центры O1 и O2 касающихся окружностей радиуса r расположены на высоте PQ . Окружность с центром O1 вписана в угол MPN , а окружность с центром O2 касается основания MN в его середине Q . Пусть высота пирамиды равна x , а окружность с центром O1 касается PN в точке F . Из подобия прямоугольных треугольников PFO1 и PQN следует, что

= , или = .
После очевидных упрощений получим квадратное уравнение
(a2 - 4r2)x2 - 6a2rx + 8a2r2 = 0,
откуда находим, что
x =
или
x = .
Из условия задачи следует, что a > 2r , поэтому
a2 > 4r2, 8a2 > 32r2, 9a2 > a2 + 32r2, 3a > .
Значит, второй корень отрицателен. Следовательно, высота пирамиды равна
.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8063