Задача 109277

Темы:    [ Цилиндр ] [ Конус ] [ Касающиеся сферы ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В цилиндр с радиусом основания , и высотой , вписаны четыре одинаковых шара так, что они касаются верхнего основания цилиндра, его боковой поверхности и каждый из шаров касается двух из трёх других шаров. Найдите площадь боковой поверхности конуса, основание которого совпадает с нижним основанием цилиндра и который касается всех четырёх шаров.

Решение

Заметим, что

= 6( - 1) = 6 - 6.
Пусть O'1 , O'2 , O'3 , O'4 – ортогональные проекции центров O1 , O2 , O3 , O4 шаров на плоскость нижнего основания цилиндра (рис.2), O – центр этого основания, r – радиус шаров, S – искомая боковая поверхность. Точка O – центр окружности, описанной около квадрата O'1O'2O'3O'4 со стороной 2r , поэтому OO' = r , а т.к. радиус основания цилиндра равен , то r + r = , откуда
r = = = - .
Рассмотрим осевое сечение цилиндра, проходящее через точку O1 (рис.3). Получим прямоугольник ABCD , равнобедренный треугольник BCE с основанием BC = и высотой EO ( E – вершина конуса) и окружность с центром O1 и радиусом r = 2 - 3 , касающуюся AB , AD и BE в точках F , G и H соответственно. Обозначим O1BF = α . Тогда
tg α = = = = = = .

BEO = ABE = 2 O1BF = 2α, sin BEO = sin 2α = = = ,

BE = = · sin 2α = .
Следовательно,
S = π · OB· BE = π · · = π.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8066