Задача 109279

Темы:    [ Касающиеся сферы ] [ Правильная пирамида ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Четыре шара радиусов 1, 1, 1 и 2 попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите радиус сферы, касающейся внутренним образом всех этих шаров.

Решение

Пусть O1 , O2 , O3 – центры шаров радиуса 1, O4 – центр шара радиуса 2, O – центр искомой сферы радиуса R , касающейся внешним образом четырёх данных шаров. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду O1O2O3O4 с основанием O1O2O3 . Центр O искомой сферы лежит на высоте O4M этой пирамиды. Обозначим OM = x . Пусть A и B – точки, в которых искомая сфера касается шаров с центрами O4 и O1 соответственно. Тогда OA = OB = R . Далее находим:

O1M = = , O4M = = = = ,

OO1 = = , OO4 = O4M - OM = - x,

OA = OO4 + 2 = - x + 2, OB = OO1 + 1 = + 1.
Из уравнения
- x + 2 = + 1
находим, что x = . Следовательно,
R = OA = OO4 + 2 = - x + 2 = + 2 - = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8068