Задача 109289

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Куб ] [ Задачи на максимум и минимум (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Каким может быть ребро куба, одна грань которого лежит в плоскости основания правильной четырёхугольной пирамиды, а четыре оставшиеся вершины – на её боковой поверхности, если стороны основания пирамиды равны a , а высота пирамиды равна h .

Решение

Пусть вершины A , B , C и D куба ABCDA1B1C1D1 с ребром x лежат на основании KLMN правильной четырёхугольной пирамиды KLMNP с вершиной P , а вершины A1 , B1 , C1 и D1 – на боковых гранях пирамиды. Так как плоскости A1B1C1D1 и ABCD параллельны, то квадрат A1B1C1D1 вписан в квадрат K1L1M1N1 , полученный в сечении пирамиды KLMNP плоскостью, параллельной её основанию. Пусть точки A1 , B1 , C1 и D1 лежат на сторонах соответственно K1L1 , L1M1 , M1N1 и K1N1 квадрата K1L1M1N1 . Так как ребро куба равно x , то пирамида K1L1M1N1P подобна пирамиде KLMNP с коэффициентом . Значит, сторона квадрата K1L1M1N1 равна . Рассмотрим случай, когда точки A1 , B1 , C1 и D1 совпадают с точками соответственно K1 , L1 , M1 и N1 (рис.1). Тогда

a· = x,
откуда находим, что x = . Пусть точки A1 , B1 , C1 и D1 совпадают с серединами соответствующих сторон квадрата K1L1M1N1 (рис.2). Тогда
a· = x,
откуда находим, что x = . Докажем, что если x – сторона произвольного куба, рассматриваемого в задаче, то
x .
Действительно, пусть A1B1L1 = α (рис.3). Ясно, что каждому α из отрезка [0; 45^o] соответствует единственная точка A1 на отрезке L1E , где E – середина K1L1 . Из равных прямоугольных треугольников A1L1B1 и D1K1A1 находим, что
A1L1 = A1B1 sin A1B1L1 = x sin α,

A1K1 = A1D1 cos D1A1K1 = x cos α,
а т.к. A1L1 + A1K1 = K1L1 , то
x sin α + x cos α = a · ,
откуда находим, что
x = = .
Если 0 α 45^o , то
sin (α + 45^o) 1.
Поэтому
.
Следовательно, сторона куба принимает любое значение между и .

Ответ

x .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8311