Задача 109290

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Куб ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите ребро куба, одна грань которого лежит в плоскости основания правильной треугольной пирамиды, а четыре оставшиеся вершины – на её боковой поверхности, если стороны основания пирамиды равны a , а высота пирамиды равна h .

Решение

Пусть вершины A , B , C и D куба ABCDA1B1C1D1 с ребром x лежат на основании KLM правильной треугольной пирамиды KLMN с вершиной N , а вершины A1 , B1 , C1 и D1 – на боковых гранях пирамиды. Так как плоскости A1B1C1D1 и ABCD параллельны, то квадрат A1B1C1D1 вписан в треугольник K1L1M1 , полученный в сечении пирамиды KLMN плоскостью, параллельной её основанию. Пусть при этом точки A1 и B1 лежат, например, на стороне K1L1 . Тогда точка C1 – на стороне L1M1 , а точка D1 – на стороне K1M1 . Так как ребро куба равно x , то пирамида K1L1M1N подобна пирамиде KLMN с коэффициентом . Значит, сторона равностороннего треугольника K1L1M1 равна . Далее имеем:

B1L1 = A1K1 = A1D1 ctg A1K1D1 = x ctg 60^o = ,

a· = K1L1 = A1K1 + A1B1 + B1L1 = + x + = + x.
Из уравнения
a· = + x
находим, что
x = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8312