ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109291
Темы:    [ Прямоугольные параллелепипеды ]
[ Скалярное произведение ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны a , b и c . Найдите углы между его диагоналями.

Решение



Пусть ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, в котором AA1|| BB1 || CC1 || DD1 , AB = a , AD = b , AA1 = c , а диагонали пересекаются в точке O . Найдём угол между диагоналями A1C и B1D . Рассмотрим сечение параллелепипеда плоскостью A1DCB1 . Получим прямоугольник A1DCB1 , диагонали A1C и B1D которого пересекаются в точке O . Так как A1OB1 – внешний угол равнобедренного треугольника B1OC , то A1OB1 = 2 B1CO . Из прямоугольного треугольника A1CB1 находим, что

tg B1CO = = .

Значит,
B1CO = arctg , A1OB1 = 2 arctg .

Если a2 b2 + c2 , то
1, B1CO 45o, A1OB1 90o.

В этом случае угол между диагоналями A1C и B1D параллелепипеда равен углу A1OB1 . Если же a2 > b2 + c2 , то угол между диагоналями A1C и B1D равен углу, смежному с углом A1OB1 , т.е
B1OC = 180o - 2 arctg .

Аналогично находятся остальные углы.

Пусть ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, в котором AA1|| BB1 || CC1 || DD1 , AB = a , AD = b , AA1 = c Обозначим = , = , = . Тогда
= + - , = - + - .

Если α – угол между диагоналями A1C и B1D , то
cos α = = = .

Следовательно, если a2 b2 + c2 , то
α = arccos .

Если же a2 > b2 + c2 , то
α = 180o - arccos .

Остальное аналогично.

Ответ

2 arctg = arccos или 180o- 2 arctg = 180o- arccos ; 2 arctg = arccos или 180o- 2 arctg = 180o- arccos ; 2 arctg = arccos или 180o- 2 arctg = 180o- arccos .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8313

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .