Задача 109291

Темы:    [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Скалярное произведение ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны a , b и c . Найдите углы между его диагоналями.

Решение

Пусть ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, в котором AA1|| BB1 || CC1 || DD1 , AB = a , AD = b , AA1 = c , а диагонали пересекаются в точке O . Найдём угол между диагоналями A1C и B1D . Рассмотрим сечение параллелепипеда плоскостью A1DCB1 . Получим прямоугольник A1DCB1 , диагонали A1C и B1D которого пересекаются в точке O . Так как A1OB1 – внешний угол равнобедренного треугольника B1OC , то A1OB1 = 2 B1CO . Из прямоугольного треугольника A1CB1 находим, что

tg B1CO = = .
Значит,
B1CO = arctg , A1OB1 = 2 arctg .
Если a2 b2 + c2 , то
1, B1CO 45^o, A1OB1 90^o.
В этом случае угол между диагоналями A1C и B1D параллелепипеда равен углу A1OB1 . Если же a2 > b2 + c2 , то угол между диагоналями A1C и B1D равен углу, смежному с углом A1OB1 , т.е
B1OC = 180^o - 2 arctg .
Аналогично находятся остальные углы.

Пусть ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, в котором AA1|| BB1 || CC1 || DD1 , AB = a , AD = b , AA1 = c Обозначим = , = , = . Тогда
= + - , = - + - .
Если α – угол между диагоналями A1C и B1D , то
cos α = = = .
Следовательно, если a2 b2 + c2 , то
α = arccos .
Если же a2 > b2 + c2 , то
α = 180^o - arccos .
Остальное аналогично.

Ответ

2 arctg = arccos или 180^o- 2 arctg = 180^o- arccos ; 2 arctg = arccos или 180^o- 2 arctg = 180^o- arccos ; 2 arctg = arccos или 180^o- 2 arctg = 180^o- arccos .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8313