Задача 109295

Темы:    [ Куб ] [ Длины и периметры (геометрические неравенства) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Через центр единичного куба проведена плоскость, не проходящая через ребро куба и делящая куб на два многогранника. Докажите, что в каждом из получившихся многогранников найдётся диагональ, длина которой не меньше .

Решение

Пусть K – середина ребра A1D1 единичного куба ABCDA1B1C1D1 . Тогда

CK = = = .
Куб симметричен относительно его центра O . Пусть секущая плоскость проходит через точку F ребра BC , не совпадающую с серединой этого ребра. Тогда она пересекает ребро в точке G , симметричной точке F относительно центра O . Предположим, что середина K ребра A1D1 и точка C лежат в одном полупространстве, на которые секущая плоскость делит все пространство. Докажем, что диагональ CG одного из получившихся многогранников меньше CK . Действительно, в прямоугольном треугольнике CD1K угол CKD1 – острый, поэтому смежный с ним угол CKG – тупой. Значит, CG – наибольшая сторона треугольника CKG . Следовательно, CG > CK = . Если же точки K и C лежат по разные стороны от секущей плоскости, то в одном полупространстве лежат точки K и B . Для диагонали BG одного из получившихся многогранников верно неравенство BG > BK = CK > . Если секущая плоскость проходит через середину ребра BC , то отрезок KC= – диагональ одного из получившихся многогранников. Аналогично для случаев, когда вместо точки F ребра BC взята точка любого другого ребра куба.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8331