Задача 109306

Тема:    [ Все темы ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Правильная четырёхугольная пирамида вращается вокруг прямой, проходящей через её вершину параллельно плоскости основания. Найдите площадь осевого сечения получившегося тела вращения, если сторона основания пирамиды равна a , а высота равна h .

Решение

Пусть PABCD – правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P , а прямая l проходит через точку P параллельно AB . Тогда при вращении вокруг прямой l основание H высоты PH пирамиды опишет окружность с центром P радиуса h ; отрезок, соединяющий середины AD и BC , – боковую поверхность цилиндра с высотой a и радиусом основания h ; отрезки AB и CD – боковую поверхность цилиндра с высотой a и радиусом основания ; рёбра PA , PB , PC и PD – боковые поверхности двух конусов с высотой , лежащей на оси вращения, общей вершиной P и радиусом основания h . Осевое сечение полученного тела вращения есть прямоугольник со сторонами a и 2 без двух равнобедренных треугольников с основаниями 2h и высотой . Следовательно, площадь сечения равна

a· 2 - 2 · · 2h· = 2a - ah = a( - h).

Также доступны документы в формате TeX

Ответ

a( - h) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8342