Задача 109307

Тема:    [ Все темы ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

На плоскости изображена окружность и две точки A и B1 , причём точка A лежит внутри окружности. Известно, что окружность является окружностью основания некоторого конуса, точка A лежит на основании этого конуса, а точка B1 есть ортогональная проекция точки B , лежащей в плоскости, проходящей через вершину конуса параллельно его основанию. Постройте проекцию (изображение) точки, в которой отрезок AB пересекает боковую поверхность конуса.

Решение

Пусть P – вершина конуса, O – центр основания, точки A и B1 лежат внутри окружности основания, причём B1 – проекция на основание некоторой точки, лежащей в плоскости, проходящей через точку P , параллельно основанию конуса. Через точку A проведём прямую, параллельную OB1 . Пусть проведённая прямая пересекает окружность основания в точках C и D . Тогда плоскость CPD параллельна прямой OB1 , а т.к. PB || OB1 , то точка B лежит в плоскости CPD . Значит, прямые PC , PD и AB лежат в одной плоскости. Следовательно, прямая AB пересекает либо образующую CP , либо образующую DP . Отсюда вытекает следующее построение на данном изображении. Строим центр O данной окружности. Через точку A проводим хорду CD , параллельную OB1 . Проводим радиусы OC и OD . Один из них пересекает отрезок AB1 в искомой точке M .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8343