Задача 109308

Тема:    [ Все темы ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Через вершину конуса проведено сечение наибольшей площади. Оказалось, что площадь сечения в два раза больше площади осевого сечения конуса. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

Решение

Пусть l – образующая конуса, α – угол при вершине осевого сечения, S0 – площадь осевого сечения, ϕ – угол между образующими в сечении, проведённом через вершину конуса, S – площадь этого сечения. Тогда

S = l2 sin ϕ.
Если α 90^o , то функция y = sin ϕ на промежутке (0; α] возрастает, поэтому наибольшая площадь сечения равна площади осевого сечения ( S0 = l2 sin ϕ) , что противоречит условию задачи. Значит, α > 90^o . Тогда
S = l2 sin ϕ l2,
причём равенство достигается при ϕ = 90^o . Таким образом, наибольшая площадь сечения равна . По условию задачи
l2 = 2· l2 sin α,
или sin α = . Так как 90^o < α < 180^o , то α = 150^o .
Также доступны документы в формате TeX

Ответ

150^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8344