Задача 109310

Тема:    [ Все темы ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Даны два шара радиусов 2 и 3 с центрами A и B соответственно, AB = 7 . Плоскость, касающаяся шаров, пересекает прямую AB в точке M . Найдите AM .

Решение

Пусть указанная плоскость касается данных шаров в точках A1 и B1 соответственно. Прямые AA1 и BB1 перпендикулярны этой плоскости, поэтому AA1|| BB1 . Рассмотрим сечение шаров плоскостью, проходящей через параллельные прямые AA1 и BB1 . Получим два круга радиусов 2 и 3 с центрами A и B соответственно. Прямая A1B1 касается этих кругов соответственно в точках A1 и B1 и пересекает с прямой AB в точке M . Пусть точка M лежит вне отрезка AB . Опустим перпендикуляр AP из точки A на прямую BB1 . Из подобия треугольников MAA1 и ABP следует, что = . Значит,

AM = AB· = AB· = 7· = 14.
Пусть точка M лежит на отрезке AB . Из подобия треугольников MAA1 и MBB1 следует, что
= 1 = .
Значит,
AM = AB =

Также доступны документы в формате TeX

Ответ

14 или .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8346