Задача 109311

Тема:    [ Все темы ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник со стороной 4. Шар касается плоскости основания конуса в точке M и боковой поверхности конуса. Найдите радиус шара, если расстояние от точки M до оси конуса равно: а) 1; б) 3.

Решение

Пусть P – вершина конуса, O – центр основания, Q – центр шара, C – точка касания шара с боковой поверхностью цилиндра. Рассмотрим осевое сечение цилиндра, проходящее через точку Q . а) Получим равносторонний треугольник APB (точка M между O и A , OM = 1 ) и круг, вписанный в угол BAP . Так как AQ – биссектриса этого угла, то QAM = 30^o . Из прямоугольного треугольника QAM находим, что

QM = AM tg QAM = (OA - OM) tg 30^o = (2 - 1)· = .
б) Получим равносторонний треугольник APB (точка M лежит на продолжении OA за точку A и AM = 1 ) и круг, вписанный в угол, смежный с углом BAP . Так как AQ – биссектриса этого угла, то QAM = 60^o . Из прямоугольного треугольника QAM находим, что
QM = AM tg QAM = AM tg 60^o = 1· = .

Также доступны документы в формате TeX

Ответ

═) ; ║) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8347