Задача 109313

Тема:    [ Все темы ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Даны плоскость α и перпендикулярная ей прямая l . Найдите геометрическое место центров шаров радиуса r , касающихся одновременно плоскости α и прямой l .

Решение

Пусть O – центр шара радиуса r ; M и N – точки касания шара с плоскостью α и прямой l соответственно, A – точка пересечения прямой l с плоскостью α . Так как l α и OM α , то OM || AN . Проведём плоскость через параллельные прямые OM и AN . Получим окружность с центром O радиуса r , вписанную в прямой угол MAN . Четырёхугольник OMAN – квадрат, NO = AM = r , AN = OM = r . Поэтому, во-первых, точка O лежит в плоскости β , параллельной плоскости α и удалённой от неё на расстояние r , во-вторых, точка O удалена от фиксированной точки N плоскости β , на расстояние r . Следовательно, точка O лежит на окружности радиуса r с центром N , лежащей в плоскости β . Условию задачи удовлетворяет также окружность, симметричная рассмотренной относительно плоскости α . Очевидно, что любая точка каждой из этих окружностей является центром шара радиуса r , касающегося плоскости α и прямой l .

Ответ

Две окружности радиуса r , лежащие в плоскостях, параллельных данной, и удалённых от данной на расстояние r .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8349