Задача 109314

Тема:    [ Все темы ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите геометрическое место всех шаров данного радиуса, касающихся граней данного двугранного угла.

Решение

Пусть O – центр шара данного радиуса r ; A и B – точки касания шара с гранями α и β данного двугранного угла. Тогда OA α , OA = r . Это значит, что точка O удалена от грани α на расстояние r . Поэтому точка O лежит в плоскости α1 , параллельной грани α и удалённой от неё на расстояние r . Кроме того, точка O лежит внутри данного двугранного угла. Значит, плоскость α1 единственна. Аналогично, точка O лежит в одной из двух плоскостей β1 , параллельных грани β и удалённых от неё на расстояние r . Следовательно, точка O лежит на прямой l пересечения плоскостей α1 и β1 . Прямая l параллельна ребру двугранного угла и удалена от него на расстояние , где ϕ – величина данного двугранного угла. Очевидно, что каждая точка прямой l является центром шара радиуса r , вписанного в данный двугранный угол.

Ответ

Прямая, параллельная ребру данного двугранного угла и удалённая от его граней на расстояние, равное данному радиусу.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8350