Задача 109319

Темы:    [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Биссекторная плоскость и ГМТ ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Докажите, что в любую треугольную пирамиду можно вписать единственную сферу.

Решение

Рассмотрим треугольную пирамиду ABCD . Биссекторные плоскости двугранных углов при рёбрах AB , AC и BD имеют единственную общую точку Q . Эта точка равноудалена от плоскостей всех четырёх граней пирамиды ABCD . Следовательно, Q – центр сферы, вписанной в пирамиду ABCD . Пусть O – центр еще одной сферы, вписанной в пирамиду ABCD . Тогда точка O равноудалена от всех граней пирамиды. Поэтому она совпадает с точкой Q .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8358