Задача 109322

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, описанная около пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a, боковое ребро b. Найдите радиус описанного шара.

Решение

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Первый способ. Пусть DM ─ высота данной правильной треугольной пирамиды ABCD, R ─ искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр её описанной сферы лежит на прямой DM (рис. 1). Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую DM и точку C (рис. 2). Получим окружность радиуса R с центром на прямой DM, проходящую через точки D и C. Продолжим CM за точку M до пересечения с окружностью в точке C₁. Тогда R ─ радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника CDC₁, в котором

C₁D = CD = b,   CC₁ = 2CM =

2a√ 3 3

.

Из прямоугольного треугольника CDM находим, что

cos ∠DCM =

CM CD

=

a√ 3 /3 b

=

a b√ 3

.

Поэтому

sin ∠DCM =

√ 1 − cos² ∠DCM

=

√ 1 −  a² 3b²

=

√ 3b² − a²     b√ 3

.

Следовательно,

R =

C₁D 2 sin ∠DCC₁

=

C₁D 2 sin ∠DCM

=

b 2 √ 3b² − a²     b√ 3

=

b²√ 3       2√ 3b² − a²

.

Второй способ. Пусть O ─ центр сферы, описанной около данной правильной треугольной пирамиды ABCD с вершиной D. Поскольку пирамида правильная, точка O лежит на её высоте DM. Из прямоугольных треугольников DMC и OMC находим, что

DM =

√ CD² − CM²

=

√ b² −  ( a √ 3 ) ²

=

√ 3b² − a²      √ 3

,

OM =

√ OC² − CM²

=

√ R² −  ( a √ 3 ) ²

=

√ 3R² − a²       √ 3

.

Если точка O лежит на отрезке DM (рис. 1), то OM + OD = DM, или

√ 3R² − a²       √ 3

+ R =

√ 3b² − a²      √ 3

.

Решим полученное уравнение:

√ 3R² − a²       √ 3

+ R =

√ 3b² − a²      √ 3

⇔

√ 3R² − a²       √ 3

=

√ 3b² − a²      √ 3

− R  ⇒

⇒  R² −

a² 3

= b² −

a² 3

−

2R√ 3b² − a²         √ 3

+ R²  ⇔

⇔

2R√ 3b² − a²         √ 3

= b²  ⇔  R =

b²√ 3       2√ 3b² − a²

.

Возможен также случай, когда точка O лежит на продолжении высоты DM за точку M (рис. 3). Тогда OD = OM + DM, или

R =

√ 3b² − a²      √ 3

+

√ 3R² − a²       √ 3

,

откуда

R =

b²√ 3       2√ 3b² − a²

.

Третий способ. Пусть DM ─ высота данной правильной треугольной пирамиды ABCD, R ─ искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр её описанной сферы лежит на прямой DM (рис. 1). Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую DM и точку C (рис. 4). Получим окружность радиуса R с центром на прямой DM, проходящую через точки D и C. Продолжим DM за точку M до пересечения с окружностью в точке D₁. Тогда ∠DCD₁ = 90°. Поэтому DM · MD₁ = MC², или

√ 3b² − a²      √ 3

(

2R −

√ 3b² − a²      √ 3

)

=

a² 3

.

Отсюда находим, что

R =

b²√ 3       2√ 3b² − a²

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8361