Задача 109323

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, описанная около пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a , боковое ребро равно b . Найдите радиус описанного шара.

Решение

Пусть PM – высота правильной четырёхугольной пирамиды PABCD , R – искомый радиус (рис.1). Поскольку пирамида правильная, центр её описанной сферы лежит на прямой PM . Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую PM и точку A (рис.2). Получим окружность радиуса R с центром на прямой PM , проходящую через точки P , A и C . Тогда R – радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника APC , в котором

AP = CP = b, AC = a, . AM = .
Из прямоугольного треугольника APM находим, что
cos PAM = = = .
Поэтому
sin PAM = = = .
Следовательно,
R = = = = .


Пусть O – центр сферы, описанной около правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P (рис.1). Поскольку пирамида правильная, точка O лежит на её высоте PM . Из прямоугольных треугольников PAM и OAM находим, что
PM = = = ,

OM = = = .
Если точка O лежит на отрезке PM , то OM + OP = PM , или
+ R = .
Решим полученное уравнение:
+ R = = - R

R2 - = b2 - - + R2

= b2 R = .
Возможен также случай, когда точка O лежит на продолжении высоты PM за точку M . Тогда OP = OM + MP , или
R = + ,
откуда
R = .


Пусть PM – высота правильной четырёхугольной пирамиды PABCD , R – искомый радиус (рис.1). Поскольку пирамида правильная, центр её описанной сферы лежит на прямой PM . Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую PM и точку A (рис.2). Получим окружность радиуса R с центром на прямой PM , проходящую через точки P , A и C . Тогда R – радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника APC Продолжим PM до пересечения с окружностью в точке P1 (рис.2). Тогда PAP1 = 90^o , поэтому PM· MP1 = MA2 , или
· (2R-)= .
Отсюда находим, что
R = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8362