Задача 109324
|
|
 |
Условие
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна a , боковое ребро равно b . Найдите радиус описанного шара.Решение
Пусть PM – высота правильной шестиугольной пирамиды PABCDEF (рис.1), R – искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр её описанной сферы лежит на прямой PM . Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую PM и точку A (рис.2). Получим окружность радиуса R с центром на прямой PM , проходящую через точки A , P и D . Тогда R – радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника APD , в котором
Из прямоугольного треугольника AMP находим, что
Поэтому
Следовательно,
Пусть O – центр сферы, описанной около правильной шестиугольной пирамиды PABCDEF с вершиной P . Поскольку пирамида правильная, точка O лежит на её высоте PM . Из прямоугольных треугольников AMP и AMO находим, что
Если точка O лежит на отрезке PM , то OM + OP = PM , или
Решим полученное уравнение:
Возможен также случай, когда точка O лежит на продолжении высоты PM за точку M . Тогда OP = OM + PM , или
откуда
Пусть PM – высота правильной шестиугольной пирамиды PABCDEF (рис.1), R – искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр её описанной сферы лежит на прямой PM . Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую PM и точку A (рис.2). Получим окружность радиуса R с центром на прямой PM , проходящую через точки A , P и D . Тогда R – радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника APD . Продолжим PM до пересечения с окружностью в точке P1 (рис.2). Тогда
Отсюда находим, что
Ответ
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 8363 |
