Задача 109325

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, вписанная в пирамиду ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a , боковое ребро равно b . Найдите радиус вписанного шара.

Решение

Пусть DM – высота правильной треугольной пирамиды ABCD , r – искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр Q её вписанной сферы лежит на прямой DM , точки касания сферы с боковыми гранями лежат на апофемах, а точка касания сферы с основанием совпадает с точкой M (рис.1). Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую DM и точку C (рис.2). Получим треугольник DKC ( K – середина AB ) и окружность радиуса r с центром на высоте DM , вписанную в угол DKC . Центр Q этой окружности лежит на биссектрисе угла DKM треугольника DKM , а QM = r . Из прямоугольных треугольников DMC и DKA находим, что

DM = = = ,

DK = = = .
По свойству биссектрисы треугольника = , поэтому
= .
Следовательно,
r = QM = DM· = · =

=

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8364