Задача 109326

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, описанная около пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a , боковое ребро равно b . Найдите радиус вписанного шара.

Решение

Пусть PM – высота данной правильной четырёхугольной пирамиды PABCD , r – искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр Q её вписанной сферы лежит на прямой PM , точки касания сферы с боковыми гранями лежат на апофемах, а точка касания сферы с основанием совпадает с точкой M . Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую PM и середину K стороны AB основания ABCD . Получим равнобедренный треугольник PKL ( L – середина AB ) и вписанную в него окружность радиуса r с центром на высоте PM . Центр Q этой окружности лежит на биссектрисе KQ угла PKM прямоугольного треугольника PKM , а QM = r . Из прямоугольных треугольников PMA и PKA находим, что

PM = = = ,

PK = = = .
По свойству биссектрисы треугольника = , поэтому
= .
Следовательно,
r = QM = PM· = · =

=

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8365