ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109329
Темы:    [ Правильная пирамида ]
[ Сфера, касающаяся ребер или сторон пирамиды ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a , боковое ребро равно b . Найдите радиус шара, касающегося всех рёбер пирамиды.

Решение

Пусть PM – высота правильной четырёхугольной пирамиды PABCD , r – искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр Q сферы, касающейся всех рёбер пирамиды, лежит на прямой PM , а точки касания сферы со сторонами основания совпадают с серединами этих сторон. Если K и L – точки касания сферы с рёбрами AB и AP соответственно, то

QL AP, AK = , PL = AP - AL = b - = .

Из прямоугольного треугольника AMP находим, что
PM = = = .

Из подобия прямоугольных треугольников PLQ и PMA следует, что
= .

Значит,
r = QL = PL· = · = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8368

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .