Задача 109331

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, касающаяся ребер или сторон пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a , боковое ребро равно b . Найдите радиус шара, касающегося сторон основания и продолжений боковых рёбер пирамиды.

Решение

Пусть DM – высота правильной треугольной пирамиды ABCD , r – искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр Q сферы, касающейся сторон основания и продолжений боковых рёбер, лежит на прямой DM , а точки касания сферы со сторонами основания совпадают с серединами этих сторон. Если K и L – точки касания сферы соответственно с ребром BC и продолжением ребра DC за точку C , то

QL CD, CK = , DL = CD + CL = b + = .
Из прямоугольного треугольника DMC находим, что
DM = = = .
Из подобия прямоугольных треугольников DLQ и DMC следует, что = . Значит,
r = QL = DL· = · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8370