ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109332
Темы:    [ Правильная пирамида ]
[ Сфера, касающаяся ребер или сторон пирамиды ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a, боковое ребро равно b. Найдите радиус шара, касающегося сторон основания и продолжений боковых рёбер пирамиды.

Решение

Пусть PM ─ высота правильной четырёхугольной пирамиды PABCD, r ─ искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр Q указанной сферы лежит на прямой PM, а точки касания сферы со сторонами основания совпадают с серединами этих сторон. Если K и L ─ точки касания сферы соответственно с ребром AB и продолжением ребра AP за точку A, то

QL ⊥ AP,    AK = 
a
2
,    PL = AP + AL = b + 
a
2
 = 
2b + a
2
.

Из прямоугольного треугольника AMP находим, что

PM = 
AP² − AM²
 = 
b² − (
a
2
)
²
 
 = 
2b² − a²
     √2     
.

Из подобия прямоугольных треугольников PLQ и PMA следует, что QL : PL = AM : PM. Значит,

r = QL = PL · 
AM
PM
 = 
2b + a
2
 · 
      
a
2
      
2b² − a²
      √2      
 = 
a(2b + a)
22b² − a²
.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8371

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .