Задача 109334

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, касающаяся ребер или сторон пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a, боковое ребро равно b. Найдите радиус шара, касающегося плоскости основания и боковых рёбер пирамиды.

Решение

Пусть DM ─ высота правильной треугольной пирамиды ABCD, r ─ искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр Q сферы, касающейся плоскости основания и боковых рёбер пирамиды, лежит на прямой DM, а точка касания сферы с плоскостью основания совпадает с точкой M. Если L ─ точка касания сферы с боковым ребром CD, то

QL ⊥ CD,    CM =

a √ 3

,    CL = CM =

a √ 3

,

DL = CD − CL = b −

a √ 3

=

b√ 3  − a     √ 3

.

Из прямоугольного треугольника DMC находим, что

DM =

√ CD² − CM²

=

√ b² −  ( a √ 3 ) ²

=

√ 3b² −a²      √ 3

.

Из подобия прямоугольных треугольников DLQ и DMC следует, что QL : DL = CM : DM. Следовательно,

r = QL = DL ·

CM DM

=

b√ 3  − a     √ 3

·

a        √ 3   √ 3b² −a²        √ 3

=

a(b√ 3  − a)  √ 3 √ 3b² − a²

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8373