Информация о задаче

Задача 109335

Темы:	[	Правильная пирамида	]
Темы:	[	Сфера, касающаяся ребер или сторон пирамиды	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a, боковое ребро равно b. Найдите радиус шара, касающегося плоскости основания и боковых рёбер пирамиды.

Решение

Пусть PM ─ высота правильной треугольной пирамиды PABCD, r ─ искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр Q сферы, касающейся плоскости основания и боковых рёбер пирамиды, лежит на прямой PM, а точка касания сферы с плоскостью основания совпадает с точкой M. Если L ─ точка касания сферы с боковым ребром AP, то

QL ⊥ AP,    AM =
a
√ 2
,    AL = AM =
a
√ 2
,

PL = AP − PL = b −
a
√ 2
=
b√ 2 − a
    √ 2
.

Из прямоугольного треугольника AMP находим, что

PM =
√ AP² − AM²
=
√
b² − (
a
√ 2
)
²

=
√ 2b² −a²
     √ 2
.

Из подобия прямоугольных треугольников PLQ и PMA следует, что QL : PL = AM : PM. Следовательно,

r = QL = PL ·
AM
PM
=
b√ 2 − a
    √ 2
·
       a
√ 2

√ 2b² −a²

     √ 2
=
a(b√ 2 − a)
√ 2 √ 2b² − a²
.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8374