Задача 109336

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, касающаяся ребер или сторон пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна a, боковое ребро равно b. Найдите радиус шара, касающегося плоскости основания и боковых рёбер пирамиды.

Решение

Пусть PM ─ высота правильной шестиугольной призмы PABCDEF, r ─ искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр Q сферы, касающейся плоскости основания и боковых рёбер пирамиды, лежит на прямой PM, а точка касания сферы с плоскостью основания совпадает с точкой M. Если L ─ точка касания сферы с боковым ребром AP, то

QL ⊥ AP,   AM = a,   AL = AM = a,   PL = AP − AL = b − a.

Из прямоугольного треугольника AMP находим, что

PM = √	AP² − AM²	= √	b² − a²	.

Из подобия прямоугольных треугольников PLQ и PMA следует, что QL : PL = AM : PM. Следовательно,

r = QL = PL ·

AM PM

= (b − a)

a √ b² − a²

=

a(b − a) √ b² − a²

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8375