Задача 109349

Темы:    [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ] [ Ортогональная проекция (прочее) ] [ Куб ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Дан единичный куб ABCDA1B1C1D1 , M – середина BB1 . Найдите угол и расстояние между прямыми A1B и CM . В каком отношении общий перпендикуляр этих прямых делит отрезки CM и A1B ?

Решение

Пусть M' – ортогональная проекция точки M на плоскость B1C1DA , перпендикулярную прямой A1B и пересекающую её в точке K – центре квадрата AA1B1B , а C' – ортогональная проекция точки C на эту плоскость (рис.1). Тогда C' – центр квадрата CC1D1D , C'M' – ортогональная проекция прямой CM на эту плоскость, причём M' лежит на AB1 и M' – середина B1K . Расстояние между прямыми A1B и CM равно расстоянию от точки K до прямой C'M' . Пусть P – основание перпендикуляра, опущенного из точки K на прямую C'M' . Тогда KP – высота прямоугольного треугольника KM'C' , проведённая из вершины прямого угла (рис.2). Далее находим:

C'M' = = = ,

KP = = · = .
Угол α между прямыми A1B и CM дополняет до 90^o угол между пересекающимися прямыми CM и C'M' . Поэтому
sin α = cos (90^o - α ) = = = .
Следовательно, α = arcsin = arccos . Пусть XY – общий перпендикуляр прямых A1B и CM (точка X лежит на A1B , Y – на CM ). Тогда KXYP – прямоугольник (рис.3), PY || MM'|| CC'|| A1B . Значит,
= = = = 8.


Обозначим = , = , = , AB = x , AD = y , AA1 = z , где x = y = z = 1 . Тогда
= - , = - + ,
Пусть α – угол между прямыми A1B и CM . Тогда
cos α = = =

= = = .
Пусть XY – общий перпендикуляр прямых A1B и CM (точка X лежит на A1B , Y – на CM ), причём = и = μ . Тогда
= + + = (1 - ) + + μ =

= (1 - )( - ) + + μ (- + ) =

= (1-) + (1-μ) + ( + μ - 1)· .
Так как и , то · = 0 и · = 0 , или
((1 - ) + (1 - μ) + ( + μ - 1))( - ) =

= (1 - ) - ( + μ - 1) = -2-μ+2 = 0,

((1 - ) + (1 - μ) + ( + μ - 1))(- + ) =

= (μ - 1) + ( + μ - 1) = + μ - = 0.
Из системы

находим, что = , μ = . Поэтому
= (1 - ) + (1 - μ ) + ( + μ - 1) = + + .
Следовательно,
XY = = = = ,

= = , = , = μ = , = 8.


Предположим, нам уже известно, что sin α = . Обозначим через V объём тетраэдра BA1MC с вершиной C . Тогда
V= S_{Δ MBA}1· CB = · · 1 = .
С другой стороны, если d – искомое расстояние между прямыми BA1 и CM , то
V = BA1· CM · d sin α = · · · d · = .
Из уравнения = находим, что d= .

Ответ

arccos ; , CY:YM = 8:1 ( Y на отрезке CM ); = .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8408