Задача 109353

Темы:    [ Правильный тетраэдр ] [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Объем помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В правильном тетраэдре ABCD с ребром a точка M – середина AB , N – середина BC . Найдите угол и расстояние между прямыми CM и DN . В каком отношении общий перпендикуляр этих прямых делит отрезок DN и CM ?

Решение

Пусть O – центр равностороннего треугольника ABC , E и F – точки пересечения прямой, проходящей через точку O параллельно AB , со сторонами AC и BC соответственно, N' – основание перпендикуляра, опущенного из точки N на плоскость EDF . Так как NN' || OC , то N' – ортогональная проекция точки N на плоскость EDF , перпендикулярную прямой CM (рис.1). Тогда

= = = 2, NF = BC - BC = BC.
Расстояние между прямыми CM и DN равно расстоянию от точки O до ортогональной проекции DN на плоскость EDF , т.е. до прямой DN' . Так как NN'|| CO , то по теореме Фалеса
= = = 3,
откуда находим, что
ON' = OF = EF = · AB = a.
Пусть P – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую DN' . Тогда искомое расстояние между прямыми CM и DN равно длине отрезка OP . Из прямоугольного треугольника DON' находим, что
OP = = = a.
Угол α между прямыми CM и DN дополняет до 90^o угол между пересекающимися прямыми DN и DN' . Поэтому
sin α = cos (90^o - α) = = = .
Следовательно,
α = arcsin = arccos .
Пусть XY – общий перпендикуляр прямых CM и DN (точка X лежит на CM , Y – на DN ). Тогда OXYP – прямоугольник, PY || NN'|| OX (рис.2). Значит,
= = = = .


Обозначим = , = , = , DA = x , AB = y , BC = z , где x = y = z = a . Тогда
· = a2· cos 120^o = -, · = a2· cos 120^o = -, · = 0,

= + = - - , = + + = + + ,

· = (- - )· ( + + ) =

= -· - · - 2 - · - 2 - · =

= 0 + a2 - a2 + a2-a2 + a2 = -a2,

CM = , DN = .
Пусть α – угол между прямыми CM и DN . Тогда
cos α = = = .
Пусть XY – общий перпендикуляр прямых CM и DN (точка X лежит на CM , Y – на DN ), причём
= = (- - ), = μ = μ ( + + ).
Тогда
= + + + = (1 - ) - - + μ =

= (1 - )(- - ) - - + μ ( + + ) =

= (μ - 1) + ( + μ - 1) + ( + μ - 1)· .
Так как и , то · = 0 и · = 0 , или
((μ - 1) + ( + μ - 1) + ( + μ - 1))· (- - ) =

= -(μ - 1)(· ) - ( + μ - 1)(· ) - ( + μ - 1)· 2 -

- (μ - 1)· (· ) - ( + μ - 1)· 2 - (( + μ - 1)· (· ) =

= 0 + ( + μ - 1)a2 - ( + μ - 1)a2 +

+ (μ - 1)a2 - ( + μ - 1)a2 + ( + μ - 1)a2 =

= a2(2 + 4μ - 4 - 8 - 4μ + 8 + 2μ - 2 - 2 - 4μ + 4 +

+ 2 + μ - 2) = a2(-6 - μ + 4) = 0,

((μ - 1) + ( + μ - 1) + ( + μ - 1)) · ( + + ) =

= (μ - 1)2 + ( + μ - 1)(· ) + ( + μ - 1)(· ) +

+ (μ - 1)(· ) + ( + μ - 1)2 + ( + μ - 1)(· ) +

+ (μ - 1)(· ) + ( + μ - 1)(· ) + ( + μ - 1)2 =

= (μ - 1)a2 - ( + μ - 1)a2 + 0 -

- (μ - 1)a2 + ( + μ - 1)· a2 - ( + μ - 1)a2 +

+ 0 - · ( + μ - 1)a2 + ( + μ - 1)a2 =

= a2(8μ - 8 - 2 - 4μ + 4 - 4μ + 4 + 4 + 8μ - 8 - 4 - 2μ + 4 -

- - 2μ + 2 + 4 + 2μ - 4) = a2( + 6μ - 6) = 0,
Из системы

находим, что = , μ = ( CX:XM = 18:17 , DY:YN = 32:3 ). Поэтому
= (μ - 1)· + ( + μ - 1) + ( + μ - 1)· =

= + + .
Следовательно,
XY = = =

= =

= = = a.


Пусть V – объём тетраэдра. Тогда
V= · · a = , V_DMNC = V = .
С другой стороны,
V_DMNC = CM· DN· d sin α,
где α – угол между прямыми CM и DN , а d – расстояние между ними. Пусть T – середина отрезка BM . Тогда NT || MC , значит, угол между прямыми CM и DN равен углу DNT . Из треугольника DNT по теореме косинусов находим, что
cos α = cos DNT = .
Тогда sin α = . Следовательно,
d= = = a.

Ответ

arccos ; a ; DY:YN = 32:3 ; CX:XM = 18:17 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8412